Сын бывшего министра национальной безопасности Азербайджана Эльдара Махмудова, уволенного в 2015 году после резкого попадания в опалу. Хотя Махмудов всю свою карьеру работал на госслужбе, его семья контролирует бизнес-империю и владеет недвижимостью по всей Европе стоимостью более 100 миллионов евро, как выяснил OCCRP в 2020 году.

В 2015 году, через несколько дней после увольнения отца, Анар Махмудов закрыл свой корпоративный банковский счет в Credit Suisse. Через несколько месяцев он также закрыл свой личный счет.