Hijo del antiguo ministro de Seguridad Nacional de Azerbaiyán, Eldar Mahmudov, que fue destituido de su cargo en 2015 tras caer en desgracia de forma espectacular. Aunque Mahmudov se desempeñó como funcionario durante toda su carrera, su familia controla un emporio comercial e inmobiliario en toda Europa valorado en más de 100 millones de euros, según una investigación del OCCRP de 2020.

En 2015, pocos días después del despido de su padre, Anar Mahmudov cerró su cuenta bancaria corporativa en Credit Suisse. Unos meses después, también cerró su cuenta personal.